Estimation d'état et jumeaux numériques

Un modèle multiphysique prédit l'évolution interne d'un système à partir de son état initial, de ses paramètres, de ses entrées et de ses conditions aux limites.

Un jumeau numérique doit aller plus loin.

Il doit réconcilier en continu les prédictions du modèle avec les mesures du système physique. Cela nécessite une couche d'estimation d'état capable d'inférer des grandeurs internes qui ne sont pas directement mesurables en fonctionnement normal.

Pour les systèmes PEMFC, cela concerne par exemple l'hydratation de la membrane, l'eau accumulée, les inventaires gazeux et les états internes liés aux purges.

Cette page se concentre sur cette couche d'estimation et sur son rôle dans un jumeau numérique.

Pour le modèle physique lui-même, voir Modélisation multiphysique des PEMFC.

Un système dynamique non linéaire peut s'écrire sous forme discrète :

x_{k+1} = f(x_k, u_k, θ) + w_k
y_k     = h(x_k, u_k, θ) + v_k

où :

• x_k est le vecteur d'état interne ;
• u_k contient les entrées connues ;
• θ contient les paramètres du modèle ;
• y_k contient les sorties mesurées ;
• w_k représente l'incertitude de processus ;
• v_k représente l'incertitude de mesure.

Le problème d'estimation consiste à reconstruire x_k à partir de la séquence des entrées et des mesures.

Cela diffère fondamentalement d'une simple simulation du modèle.

Plusieurs grandeurs qui influencent fortement le comportement d'une PEMFC sont difficiles, voire impossibles, à mesurer directement en ligne.

Par exemple :

• la teneur en eau de la membrane ;
• la composition interne des gaz ;
• l'eau liquide accumulée ;
• l'appauvrissement local ou effectif en réactifs ;
• l'accumulation liée aux purges ;
• les états thermiques internes ;
• les grandeurs liées à la dégradation.

Ces états influencent la tension, le rendement, la stabilité et les limites de fonctionnement, alors que seules des mesures indirectes sont généralement disponibles.

Un estimateur d'état fournit une méthode mathématiquement structurée pour les inférer.

Le modèle multiphysique complet peut contenir davantage d'états qu'il n'est raisonnable d'en estimer.

Un état estimé réduit est préférable lorsque seule une partie des grandeurs internes est suffisamment observable.

Un vecteur réduit représentatif peut s'écrire :

x_est = [T  λ  q_p]ᵀ

où :

• T est la température ;
• λ est l'hydratation de la membrane ;
• q_p est une grandeur accumulée liée aux purges.

D'autres grandeurs physiques, telles que la saturation en eau liquide, peuvent rester des états du modèle ou des variables de fonctionnement sans appartenir au vecteur estimé.

Cette distinction est volontaire.

Augmenter la dimension de l'état de l'estimateur n'augmente pas automatiquement l'information extraite des mesures.

Un état ne peut être estimé de manière fiable que si son influence sur les sorties mesurées peut être distinguée de celle des autres états et paramètres.

C'est le sens pratique de l'observabilité.

Pour des modèles PEMFC non linéaires, l'observabilité dépend :

• du vecteur d'état choisi ;
• des capteurs disponibles ;
• de la trajectoire de fonctionnement ;
• du niveau d'excitation ;
• de la structure du modèle ;
• de l'incertitude sur les paramètres ;
• du bruit de mesure.

Un état peut être observable dans un régime de fonctionnement et faiblement observable dans un autre.

C'est pourquoi le choix des états doit être effectué conjointement avec le modèle de mesure, et non à partir du seul intérêt physique.

L'observabilité des états et l'identifiabilité des paramètres sont liées mais distinctes.

Un modèle peut contenir deux paramètres dont les effets sur la tension sont presque indiscernables. Tenter d'estimer les deux en ligne peut rendre le problème mal conditionné même lorsque la dynamique des états est par ailleurs bien comportée.

De même, un état et un paramètre peuvent se compenser mutuellement.

Pour cette raison, un estimateur de jumeau numérique doit éviter d'estimer simultanément trop de grandeurs faiblement distinguables.

Les paramètres doivent rester fixes tant que les mesures disponibles ne contiennent pas réellement assez d'information pour les identifier.

L'estimateur non linéaire actuel repose sur un filtre de Kalman unscented (UKF).

L'UKF évite une linéarisation explicite du modèle non linéaire.

À la place, il propage un ensemble de points sigma choisis de manière déterministe à travers les fonctions non linéaires de transition et de mesure.

Pour un état de dimension n, les points sigma représentent la moyenne et la covariance courantes de la distribution de l'état estimé.

À chaque itération, l'UKF comporte deux étapes principales :

1. prédiction ;
2. correction par la mesure.

À partir de l'estimation courante (hat x_k|k) et de la covariance (P_k|k,) l'UKF construit des points sigma autour de la moyenne estimée. Chaque point sigma est propagé par le modèle non linéaire de transition d'état :

χ^(i)_{k+1|k} = f(χ^(i)_{k|k}, u_k, θ)

La moyenne prédite de l'état et sa covariance sont reconstruites à partir des points sigma propagés.

La covariance de processus Q est ensuite ajoutée pour représenter l'incertitude du modèle.

Les points sigma prédits sont projetés dans l'espace des mesures :

γ^(i)_{k+1} = h(χ^(i)_{k+1|k}, u_{k+1}, θ)

À partir de ces points, le filtre calcule :

• la mesure prédite ;
• la covariance de l'innovation ;
• la covariance croisée état-mesure.

Le gain de Kalman est ensuite utilisé pour corriger l'état prédit en fonction de l'écart entre les sorties prédites et mesurées.

La correction dépend donc à la fois :

• de l'amplitude du résidu de mesure ;
• de la confiance accordée au modèle et aux capteurs.

Les matrices Q et R sont centrales dans le comportement de l'estimateur. Q représente l'incertitude de la transition d'état. Des valeurs élevées conduisent l'estimateur à faire moins confiance au modèle et à s'adapter davantage aux mesures. R représente l'incertitude de mesure. Des valeurs élevées conduisent l'estimateur à faire moins confiance aux mesures.

Ces matrices ne sont pas de simples paramètres numériques arbitraires. Leurs valeurs doivent refléter autant que possible de véritables sources d'incertitude. Un mauvais choix des covariances peut produire :

• une convergence lente ;
• des estimations bruitées ;
• une correction excessive ;
• un retard de l'estimateur ;
• une instabilité numérique ;
• une fausse confiance.

L'UKF exige également un état initial estimé et une covariance initiale. L'initialisation est particulièrement importante pour les états lentement observables. Par exemple, l'hydratation de la membrane peut ne pas être reconstruite immédiatement à partir d'un faible résidu de tension si plusieurs autres états produisent des effets similaires. Une covariance initiale réaliste permet à l'estimateur de converger tout en représentant honnêtement l'incertitude. Une initialisation trop confiante peut empêcher une correction utile.

L'information disponible pour l'estimateur dépend directement du choix des capteurs. Les mesures possibles comprennent :

• la tension du stack ;
• la tension de cellule lorsqu'elle est disponible ;
• la température ;
• la pression anodique ;
• la pression cathodique ;
• le débit d'entrée ou de sortie ;
• les conditions ambiantes.

Tous les capteurs n'apportent pas la même information sur chaque état interne. La tension est sensible à de nombreux mécanismes physiques simultanément : elle est informative, mais pas spécifiquement diagnostique. Les mesures de température et de pression peuvent améliorer nettement la séparation des états lorsque les dynamiques internes correspondantes sont représentées dans le modèle.

Les entrées connues ne sont pas des mesures, mais elles influencent fortement l'observabilité. Par exemple :

• le courant de charge ;
• la commande de purge ;
• la commande du ventilateur ;
• les conditions d'alimentation en gaz ;
• la température ambiante.

Les variations de ces entrées excitent différentes dynamiques du modèle. Un système maintenu indéfiniment au voisinage d'un point fixe peut révéler moins d'information sur ses états internes qu'un système soumis à des transitoires suffisamment riches. Il existe donc un lien direct entre qualité d'estimation et trajectoire de fonctionnement.

Le fonctionnement avec purge introduit des événements discrets dans un système dynamique par ailleurs continu. Lors d'une purge, certains états internes peuvent changer rapidement ou selon une loi de réinitialisation. Une formulation hybride générique peut s'écrire :

x⁺ = g(x⁻, u_purge)

où x⁻ et x⁺ désignent l'état immédiatement avant et après l'événement. L'estimateur doit rester cohérent avec ces transitions. Traiter une purge comme un pas de temps lisse ordinaire peut introduire des pics artificiels d'innovation et des erreurs d'état.

Certains états estimés possèdent des bornes physiques strictes. Par exemple :

• température absolue positive ;
• inventaires d'espèces non négatifs ;
• hydratation de membrane bornée ;
• quantités d'eau liquide non négatives.

Un estimateur numérique peut violer ces contraintes s'il n'est pas explicitement contraint. Plusieurs stratégies sont possibles :

• écrêtage des états ;
• coordonnées transformées ;
• filtrage contraint ;
• modèles de processus physiquement bornés.

Un simple écrêtage peut suffire pour assurer la robustesse dans certaines applications, mais il peut déformer l'interprétation de la covariance et doit donc être utilisé en connaissance de cause.

Un filtre de Kalman ne transforme pas un modèle arbitrairement faux en modèle vrai. Des erreurs structurelles persistantes peuvent être absorbées à tort par les états estimés. Par exemple, une résistance ohmique sous-estimée peut conduire l'estimateur à modifier l'hydratation de la membrane simplement parce que l'hydratation influe elle aussi sur la tension. C'est l'un des principaux risques de l'estimation basée sur modèle. Les états estimés doivent donc être interprétés dans le contexte de la validité du modèle et de l'incertitude sur ses paramètres.

L'innovation est r_k = y_k - ŷ_k|k-1. Elle ne constitue pas seulement un signal de correction. Ses statistiques apportent des informations sur la cohérence de l'estimateur. Les contrôles utiles comprennent :

• une innovation moyenne proche de zéro ;
• l'absence de biais persistant ;
• une covariance cohérente avec l'incertitude attendue ;
• une corrélation temporelle limitée ;
• une réponse aux événements de fonctionnement connus.

Une structure persistante dans l'innovation indique souvent que le modèle, les hypothèses de covariance ou le modèle de capteur sont incomplets.

L'estimation d'état exécute de manière répétée le modèle non linéaire et les opérations de covariance. La robustesse numérique devient donc encore plus critique que dans une simulation directe isolée. Les contrôles importants comprennent :

• matrices de covariance semi-définies positives ;
• génération stable des points sigma ;
• opérations matricielles bien conditionnées ;
• sorties du modèle finies ;
• dimensions d'état cohérentes ;
• évaluation déterministe du modèle ;
• états physiques bornés ;
• comportement maîtrisé en présence de mesures absentes ou invalides.

Les tests de régression sont particulièrement utiles, car de petites modifications du modèle peuvent changer le comportement de l'estimateur même lorsque la simulation directe reste visuellement plausible.

Avant la validation expérimentale, l'estimateur peut être vérifié sur des données synthétiques générées par le modèle lui-même. Un test typique consiste à :

1. générer une trajectoire d'état connue ;
2. calculer des mesures synthétiques ;
3. ajouter un bruit contrôlé ;
4. initialiser l'estimateur avec un état imparfait ;
5. vérifier si l'état réel est retrouvé.

Cette procédure est utile pour tester la correction de l'implémentation et l'observabilité de base. Elle ne constitue pas une validation expérimentale, car les données synthétiques obéissent aux mêmes hypothèses de modèle que l'estimateur.

La validation expérimentale exige une comparaison à un système réel. Pour les états directement mesurés, cela est simple en principe. Pour des états internes comme l'hydratation de la membrane, la validation est plus difficile, car la grandeur de référence peut elle-même nécessiter une mesure indirecte ou de laboratoire.

La validation doit donc distinguer :

• les états de référence directement mesurés ;
• les grandeurs de référence inférées indépendamment ;
• la précision de prédiction des sorties ;
• la cohérence avec les comportements physiques connus.

À ce jour, la validation expérimentale de l'estimateur PEMFC actuel n'est pas encore achevée.

L'estimateur d'état est un composant d'une architecture de jumeau numérique plus large. Une architecture pratique peut être vue comme plusieurs couches :

1. système physique ;
2. capteurs et acquisition ;
3. conditionnement des données ;
4. modèle multiphysique ;
5. estimateur d'état ;
6. gestion des paramètres et des incertitudes ;
7. diagnostics et indicateurs ;
8. commande ou aide à la décision ;
9. données persistantes et traçabilité.

L'estimateur relie le comportement mesuré au modèle physique interne. Sans cette étape de réconciliation, le système reste un simulateur plutôt qu'un jumeau numérique pleinement opérationnel.

Un jumeau numérique mature pourra éventuellement intégrer une adaptation en ligne de certains paramètres. Les cibles potentielles comprennent des grandeurs à évolution lente liées à :

• au vieillissement ;
• aux propriétés de transport effectives ;
• aux échanges thermiques ;
• à la résistance électrique ;
• aux caractéristiques des actionneurs.

Cette évolution doit être introduite avec prudence. Estimer simultanément des états dynamiques et des paramètres lentement variables peut créer de graves problèmes d'identifiabilité. Une approche hiérarchique est souvent préférable :

• estimer les états internes rapides en ligne ;
• mettre à jour certains paramètres sur une échelle de temps plus lente ;
• préserver les contraintes et les connaissances a priori.

Une fois les états internes estimés de manière fiable, ils peuvent servir au diagnostic. Par exemple pour détecter :

• un assèchement anormal ;
• une accumulation excessive d'eau ;
• une évolution inhabituelle des pressions ;
• une inefficacité des purges ;
• des anomalies thermiques ;
• des écarts entre le comportement électrochimique attendu et observé.

Un indicateur de diagnostic devrait idéalement être relié à un état ou à un résidu physiquement interprétable, plutôt qu'à un seuil numérique inexpliqué.

L'estimation d'état prépare également le modèle à la commande en boucle fermée. Un contrôleur peut utiliser des états internes estimés qui ne sont pas directement mesurables. Les objectifs possibles comprennent :

• maintenir l'hydratation de la membrane dans une plage favorable ;
• limiter les excursions thermiques ;
• planifier les purges ;
• éviter l'inondation ou l'appauvrissement en réactifs ;
• équilibrer rendement et durabilité.

Cela exige que l'estimateur fonctionne de manière fiable à l'échelle de temps de la boucle de commande.

Un jumeau numérique ne devrait pas fournir uniquement des estimations ponctuelles. La covariance de l'estimateur contient des informations utiles sur la confiance, même si elle doit être interprétée avec prudence lorsque les hypothèses du modèle sont imparfaites. Un état estimé avec une forte incertitude ne doit pas être présenté comme s'il s'agissait d'une mesure directe.

Ce point est particulièrement important lorsque les grandeurs estimées sont ensuite utilisées pour des décisions de diagnostic ou de commande.

Pour les travaux d'estimation d'état, la reproductibilité exige davantage que le code source. Un enregistrement complet doit inclure :

• la version du modèle ;
• le jeu de paramètres ;
• la configuration de l'estimateur ;
• les matrices Q et R ;
• l'état et la covariance initiaux ;
• les données d'entrée ;
• le prétraitement des mesures ;
• la configuration du solveur ;
• l'environnement logiciel.

Sans ces éléments, deux exécutions apparemment identiques de l'estimateur peuvent ne pas être réellement comparables.

Le développement actuel comprend :

• un modèle multiphysique PEMFC complet ;
• une formulation réduite non linéaire pour l'estimation d'état ;
• une implémentation UKF ;
• des tests numériques et logiciels en Python.

Les travaux actuels portent sur la formulation du modèle, la robustesse numérique et la cohérence de l'estimateur. La validation expérimentale reste une étape ultérieure.

Les principaux principes que j'applique sont :

• n'estimer que les états soutenus par l'information disponible ;
• distinguer les états des paramètres ;
• rendre l'incertitude explicite ;
• éviter des hypothèses de covariance excessivement confiantes ;
• inspecter les innovations, pas seulement les états reconstruits ;
• préserver les contraintes physiques ;
• tester les estimateurs sur des données synthétiques avant déploiement expérimental ;
• distinguer la vérification de l'implémentation de la validation expérimentale ;
• considérer les états estimés comme des grandeurs dépendantes du modèle, et non comme des mesures directes ;
• préserver des configurations d'estimateur reproductibles.